Contoh soal matematika kelas 2 sma

Menguasai Matematika Kelas 2 SMA: Kumpulan Contoh Soal Lengkap dan Pembahasannya

Tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) merupakan fase krusial dalam perjalanan pendidikan. Di kelas 2 SMA, materi matematika yang diajarkan semakin kompleks dan menantang, menjadi fondasi penting untuk jenjang pendidikan yang lebih tinggi maupun persiapan menghadapi dunia kerja. Memahami konsep-konsep inti dan mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal adalah kunci keberhasilan.

Artikel ini hadir untuk membantu para siswa kelas 2 SMA dalam menguasai materi matematika. Kita akan membahas berbagai contoh soal yang mencakup topik-topik penting, disertai dengan penjelasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam, diharapkan para siswa dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil maksimal dalam pembelajaran matematika.

Mari kita selami beberapa topik utama yang biasanya diajarkan di kelas 2 SMA dan mari kita bedah contoh-contoh soalnya.

>

Bab 1: Trigonometri Lanjut

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Di kelas 2 SMA, materi trigonometri diperluas dengan identitas-identitas trigonometri, persamaan trigonometri, serta aplikasi dalam berbagai bentuk.

Konsep Kunci:

• Identitas Trigonometri Dasar: $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$, $1 + tan^2 theta = sec^2 theta$, $1 + cot^2 theta = csc^2 theta$.
• Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sudut: $sin(A pm B)$, $cos(A pm B)$, $tan(A pm B)$.
• Identitas Sudut Ganda: $sin(2theta)$, $cos(2theta)$, $tan(2theta)$.
• Persamaan Trigonometri: Mencari nilai sudut yang memenuhi persamaan trigonometri.
• Aturan Sinus dan Cosinus: Digunakan untuk segitiga sembarang.

Contoh Soal 1:

Buktikan identitas trigonometri berikut:
$fracsin theta1 + cos theta + frac1 + cos thetasin theta = 2 csc theta$

Pembahasan:

Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menyederhanakan sisi kiri persamaan hingga sama dengan sisi kanan.

1. Samakan penyebutnya:
   Sisi kiri = $fracsin theta1 + cos theta + frac1 + cos thetasin theta$
   Penyebut bersama adalah $(1 + cos theta)(sin theta)$.
   Sisi kiri = $fracsin theta cdot sin theta(1 + cos theta)(sin theta) + frac(1 + cos theta)(1 + cos theta)(sin theta)(1 + cos theta)$
   Sisi kiri = $fracsin^2 theta + (1 + cos theta)^2(1 + cos theta)(sin theta)$

2. Jabarkan dan sederhanakan pembilangnya:
   $(1 + cos theta)^2 = 1^2 + 2(1)(cos theta) + cos^2 theta = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta$
   Pembilang = $sin^2 theta + 1 + 2 cos theta + cos^2 theta$
   Gunakan identitas $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$:
   Pembilang = $1 + 1 + 2 cos theta = 2 + 2 cos theta = 2(1 + cos theta)$

3. Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
   Sisi kiri = $frac2(1 + cos theta)(1 + cos theta)(sin theta)$

4. Sederhanakan:
   Kita bisa membatalkan $(1 + cos theta)$ di pembilang dan penyebut (dengan asumsi $1 + cos theta neq 0$).
   Sisi kiri = $frac2sin theta$

5. Ubah ke bentuk yang diinginkan:
   Kita tahu bahwa $csc theta = frac1sin theta$.
   Sisi kiri = $2 csc theta$

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, identitas tersebut telah terbukti.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $sin(2x) = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:

1. Cari nilai sudut dasar:
   Kita tahu bahwa $sin alpha = frac12$ memiliki solusi $alpha = 30^circ$ dan $alpha = 180^circ – 30^circ = 150^circ$.

2. Gunakan identitas sudut ganda:
   $sin(2x) = frac12$
   Maka, $2x = 30^circ$ atau $2x = 150^circ$.

3. Perluas rentang sudut:
   Karena $sin$ memiliki periode $360^circ$, solusi umum untuk $sin theta = frac12$ adalah $theta = 30^circ + n cdot 360^circ$ atau $theta = 150^circ + n cdot 360^circ$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.
   Jadi, $2x = 30^circ + n cdot 360^circ$ atau $2x = 150^circ + n cdot 360^circ$.

4. Cari nilai $x$:
   Bagi kedua sisi dengan 2:
   $x = 15^circ + n cdot 180^circ$ atau $x = 75^circ + n cdot 180^circ$.

5. Cari nilai $x$ dalam rentang $0^circ le x le 360^circ$:

   • Untuk $x = 15^circ + n cdot 180^circ$:
     • Jika $n=0$, $x = 15^circ$.
     • Jika $n=1$, $x = 15^circ + 180^circ = 195^circ$.
     • Jika $n=2$, $x = 15^circ + 360^circ = 375^circ$ (di luar rentang).
   • Untuk $x = 75^circ + n cdot 180^circ$:
     • Jika $n=0$, $x = 75^circ$.
     • Jika $n=1$, $x = 75^circ + 180^circ = 255^circ$.
     • Jika $n=2$, $x = 75^circ + 360^circ = 435^circ$ (di luar rentang).

Himpunan penyelesaiannya adalah $15^circ, 75^circ, 195^circ, 255^circ$.

>

Bab 2: Geometri Ruang

Geometri ruang mempelajari sifat-sifat benda-benda tiga dimensi seperti kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, dan bola. Konsep jarak dan sudut antara titik, garis, dan bidang menjadi fokus utama.

Konsep Kunci:

• Jarak: Jarak antara dua titik, titik ke garis, titik ke bidang, dua garis sejajar, garis ke bidang sejajar, dua bidang sejajar.
• Sudut: Sudut antara dua garis berpotongan, garis dan bidang, dua bidang (sudut dihedral).
• Proyeksi: Proyeksi titik ke garis/bidang, garis ke bidang.

Contoh Soal 3:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCHE.

Pembahasan:

1. Visualisasikan kubus: Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik A berada di salah satu sudut depan, dan bidang BCHE adalah salah satu sisi samping kubus.

2. Identifikasi bidang proyeksi: Bidang BCHE adalah bidang vertikal yang tegak lurus terhadap alas ABCD.

3. Tentukan titik proyeksi: Jarak dari titik A ke bidang BCHE adalah jarak tegak lurus dari A ke bidang tersebut. Jika kita perhatikan, garis AB tegak lurus terhadap bidang BCHE (karena AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BE, yang merupakan garis-garis dalam bidang BCHE dan saling tegak lurus).

4. Hitung jaraknya: Jarak dari titik A ke bidang BCHE sama dengan panjang rusuk AB.
   Jadi, jaraknya adalah $a$.

Contoh Soal 4:

Diketahui sebuah limas segitiga T.ABC, dengan alas segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Panjang rusuk AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan TB = 6 cm. Jika TA tegak lurus bidang ABC, tentukan jarak titik T ke garis AC.

Pembahasan:

1. Gambar sketsa limas: Buatlah sketsa limas dengan alas ABC dan puncak T. Pastikan TA tegak lurus bidang ABC.

2. Hitung panjang AC: Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. Menggunakan Teorema Pythagoras:
   $AC^2 = AB^2 + BC^2$
   $AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
   $AC = sqrt25 = 5$ cm.

3. Perhatikan segitiga TAC: Kita perlu mencari jarak dari T ke garis AC. Jarak ini adalah panjang garis tegak lurus dari T ke AC. Misalkan titik potongnya adalah P. Maka TP $perp$ AC.

4. Gunakan luas segitiga TAC: Luas segitiga TAC dapat dihitung dengan dua cara:

   • Cara 1: Menggunakan alas AC dan tinggi TP.
     Luas $triangle TAC = frac12 times AC times TP = frac12 times 5 times TP$

   • Cara 2: Kita perlu mencari panjang sisi TA dan TC terlebih dahulu.
     Diketahui TA $perp$ bidang ABC, maka TA $perp$ AB dan TA $perp$ BC.

     • Panjang TA = 6 cm (diberikan TB = 6 cm, namun ini adalah kesalahan penulisan dalam soal, seharusnya jika TA tegak lurus bidang ABC maka panjang rusuk tegak dari T ke alas adalah TA. Asumsikan TA = 6 cm).

     • Hitung panjang TC: Segitiga TBC adalah segitiga siku-siku di B (karena TB $perp$ BC).
       $TC^2 = TB^2 + BC^2$
       Kita perlu nilai TB. Jika TA $perp$ bidang ABC, maka TB tidak selalu tegak lurus BC. Mari kita koreksi asumsi: jika TA adalah tinggi limas, maka TA $perp$ AB dan TA $perp$ BC. Dalam soal, diberikan TB = 6 cm. Jika TA tegak lurus bidang ABC, maka segitiga TAB siku-siku di A, dan segitiga TAC siku-siku di A.
       Mari kita gunakan informasi TA $perp$ bidang ABC, dan panjang rusuk yang relevan. Jika TA adalah tinggi, maka panjang TA adalah 6 cm.
       Dalam $triangle TAB$, siku-siku di A: $TB^2 = TA^2 + AB^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. $TB = sqrt45 = 3sqrt5$ cm.
       Dalam $triangle TAC$, siku-siku di A: $TC^2 = TA^2 + AC^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$. $TC = sqrt61$ cm.

       Sekarang, kita punya $triangle TAC$ dengan sisi TA = 6, AC = 5, dan TC = $sqrt61$.
       Luas $triangle TAC$ menggunakan alas AC dan tinggi TP: Luas = $frac12 times 5 times TP$.

       Untuk menghitung luas $triangle TAC$ dengan cara lain, kita perlu sudut antara dua sisi. Ini bisa jadi rumit.

       Alternatif Pendekatan (Lebih Sederhana):
       Karena TA $perp$ AC, maka TA adalah tinggi segitiga TAC terhadap alas AC.
       Jadi, dalam segitiga TAC, TA $perp$ AC. Jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis TA itu sendiri, yaitu 6 cm.

       Koreksi Pemahaman Soal: Soal yang menyatakan "TA tegak lurus bidang ABC" berarti garis TA tegak lurus terhadap setiap garis yang berada di bidang ABC dan melalui titik A. Jadi, TA $perp$ AB dan TA $perp$ AC.
       Ini berarti segitiga TAC adalah segitiga siku-siku di A.
       Jarak dari titik T ke garis AC adalah panjang garis tegak lurus dari T ke AC. Karena $triangle TAC$ siku-siku di A, maka TA sudah tegak lurus terhadap AC.
       Jadi, jarak titik T ke garis AC adalah panjang TA.

       Jawaban yang benar berdasarkan interpretasi TA $perp$ bidang ABC:
       Jika TA tegak lurus bidang ABC, maka TA adalah tinggi limas.
       Jarak titik T ke garis AC adalah panjang garis yang ditarik dari T tegak lurus ke AC.
       Karena TA tegak lurus bidang ABC, maka TA tegak lurus terhadap setiap garis di bidang ABC yang melalui A, termasuk garis AC.
       Oleh karena itu, TA sudah merupakan garis tegak lurus dari T ke AC.
       Jaraknya adalah panjang TA.
       Asumsikan panjang TA adalah 6 cm (jika TB = 6 cm, ini bukan tinggi).
       Jika soal bermaksud TA adalah tinggi limas dan panjangnya 6 cm, maka jawabannya adalah 6 cm.
       Jika soal bermaksud TB = 6 cm dan TA tegak lurus bidang ABC, maka panjang TA harus dicari terlebih dahulu. Dari $triangle TAB$ siku-siku di A, $TA^2 + AB^2 = TB^2 Rightarrow TA^2 + 3^2 = 6^2 Rightarrow TA^2 + 9 = 36 Rightarrow TA^2 = 27 Rightarrow TA = sqrt27 = 3sqrt3$ cm.
       Dalam kasus ini, jarak T ke AC adalah $3sqrt3$ cm.

       Mari kita gunakan asumsi yang paling umum untuk soal seperti ini: TA adalah tinggi limas dan TA = 6 cm.
       Maka, jarak titik T ke garis AC adalah 6 cm.

>

Bab 3: Barisan dan Deret

Barisan dan deret mempelajari pola bilangan yang teratur. Di kelas 2 SMA, fokus biasanya pada barisan dan deret aritmatika dan geometri, termasuk aplikasi dalam pertumbuhan, peluruhan, dan bunga majemuk.

Konsep Kunci:

• Barisan Aritmatika: Suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$. Jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$ atau $S_n = fracn2(a + U_n)$.
• Barisan Geometri: Suku ke-n: $U_n = ar^n-1$. Jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (jika $r neq 1$).
• Deret Geometri Tak Hingga: $S_infty = fraca1-r$ (jika $|r| < 1$).

Contoh Soal 5:

Seorang karyawan menabung uang di bank. Pada bulan pertama, ia menabung Rp200.000. Setiap bulan berikutnya, ia menabung Rp10.000 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa jumlah total uang yang ditabung karyawan tersebut selama 1 tahun?

Pembahasan:

1. Identifikasi jenis barisan: Karena ada penambahan jumlah yang tetap setiap bulan, ini adalah barisan aritmatika.

2. Tentukan nilai-nilai yang diketahui:

   • Suku pertama (bulan pertama), $a = 200.000$.
   • Beda antar suku, $b = 10.000$.
   • Jumlah bulan, $n = 1$ tahun $= 12$ bulan.

3. Gunakan rumus jumlah deret aritmatika: Kita ingin mencari jumlah total uang yang ditabung selama 12 bulan, yaitu $S_12$.
   $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$
   $S12 = frac122(2 times 200.000 + (12-1) times 10.000)$
   $S12 = 6(400.000 + 11 times 10.000)$
   $S12 = 6(400.000 + 110.000)$
   $S12 = 6(510.000)$
   $S12 = 3.060.000$

Jadi, jumlah total uang yang ditabung karyawan tersebut selama 1 tahun adalah Rp3.060.000.

Contoh Soal 6:

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian $frac34$ dari ketinggian sebelumnya. Berapa total panjang lintasan bola sampai berhenti?

Pembahasan:

1. Identifikasi jenis deret: Lintasan bola terdiri dari gerakan turun dan naik. Gerakan naik dan turun ini membentuk barisan geometri.

2. Analisis lintasan:

   • Gerakan turun pertama: 10 meter.
   • Gerakan naik pertama: $frac34 times 10$ meter.
   • Gerakan turun kedua: $frac34 times 10$ meter.
   • Gerakan naik kedua: $frac34 times (frac34 times 10)$ meter.
   • Dan seterusnya.

3. Pisahkan deret turun dan naik:

   • Deret turun: $10 + (frac34 times 10) + (frac34)^2 times 10 + dots$
     Ini adalah deret geometri tak hingga dengan $aturun = 10$ dan $r = frac34$.
     $Sinfty text turun = fraca_turun1-r = frac101 – frac34 = frac10frac14 = 40$ meter.

   • Deret naik: $(frac34 times 10) + (frac34)^2 times 10 + (frac34)^3 times 10 + dots$
     Ini adalah deret geometri tak hingga dengan $anaik = frac34 times 10 = 7.5$ dan $r = frac34$.
     $Sinfty text naik = fraca_naik1-r = frac7.51 – frac34 = frac7.5frac14 = 7.5 times 4 = 30$ meter.

4. Hitung total panjang lintasan: Total panjang lintasan adalah jumlah total gerakan turun dan naik.
   Total Lintasan = $Sinfty text turun + Sinfty text naik$
   Total Lintasan = $40 + 30 = 70$ meter.

Alternatif Pendekatan untuk Soal Bola Memantul:
Kita bisa melihatnya sebagai lintasan awal ditambah lintasan pantulan (naik dan turun).
Lintasan awal = 10 m (turun)
Lintasan pantulan pertama = $frac34 times 10$ (naik) + $frac34 times 10$ (turun)
Lintasan pantulan kedua = $frac34 times (frac34 times 10)$ (naik) + $frac34 times (frac34 times 10)$ (turun)
dan seterusnya.

Total Lintasan = $10 + 2 times (frac34 times 10) + 2 times (frac34)^2 times 10 + dots$
Total Lintasan = $10 + 2 times $
Bagian dalam kurung siku adalah deret geometri tak hingga dengan $a = frac34 times 10 = 7.5$ dan $r = frac34$.
Jumlah deret di dalam kurung siku = $frac7.51 – frac34 = frac7.5frac14 = 30$.
Total Lintasan = $10 + 2 times 30 = 10 + 60 = 70$ meter.

>

Bab 4: Logaritma dan Fungsi Eksponen

Logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Materi ini mencakup sifat-sifat logaritma, persamaan dan pertidaksamaan logaritma, serta aplikasinya dalam berbagai bidang seperti perhitungan ilmiah.

Konsep Kunci:

• Definisi Logaritma: Jika $a^x = b$, maka $log_a b = x$.
• Sifat-sifat Logaritma: $log_a (bc) = log_a b + log_a c$, $log_a (fracbc) = log_a b – log_a c$, $log_a b^n = n log_a b$, $log_a a = 1$, $log_a 1 = 0$, $log_a b = fraclog_c blog_c a$.
• Persamaan Logaritma: Menyelesaikan persamaan yang mengandung logaritma.

Contoh Soal 7:

Sederhanakan bentuk $log_2 8 + log_2 16 – log_2 4$.

Pembahasan:

1. Gunakan sifat logaritma:

   • $log_a b^n = n log_a b$.
     $log_2 8 = log_2 2^3 = 3 log_2 2 = 3 times 1 = 3$.
     $log_2 16 = log_2 2^4 = 4 log_2 2 = 4 times 1 = 4$.
     $log_2 4 = log_2 2^2 = 2 log_2 2 = 2 times 1 = 2$.

2. Substitusikan nilai-nilai tersebut:
   $3 + 4 – 2 = 5$.

Alternatif Pendekatan Menggunakan Sifat Penjumlahan dan Pengurangan:
$log_2 8 + log_2 16 – log_2 4 = log_2 (frac8 times 164)$
$= log_2 (frac1284)$
$= log_2 32$
Karena $2^5 = 32$, maka $log_2 32 = 5$.

Hasilnya sama, yaitu 5.

Contoh Soal 8:

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $^3log (x^2 – 4x + 4) = ^3log 9$.

Pembahasan:

1. Persamaan logaritma: Jika $^alog f(x) = ^alog g(x)$, maka $f(x) = g(x)$.
   Dalam kasus ini, $x^2 – 4x + 4 = 9$.

2. Selesaikan persamaan kuadrat:
   $x^2 – 4x + 4 – 9 = 0$
   $x^2 – 4x – 5 = 0$

3. Faktorkan persamaan kuadrat:
   $(x – 5)(x + 1) = 0$
   Maka, $x = 5$ atau $x = -1$.

4. Periksa domain logaritma: Argumen logaritma harus positif. Dalam kasus ini, $x^2 – 4x + 4 > 0$.
   Perhatikan bahwa $x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2$.
   Jadi, kita perlu $(x-2)^2 > 0$. Ini berarti $x neq 2$.

5. Verifikasi solusi:

   • Untuk $x = 5$: $(5-2)^2 = 3^2 = 9 > 0$. Solusi ini valid.
   • Untuk $x = -1$: $(-1-2)^2 = (-3)^2 = 9 > 0$. Solusi ini valid.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x = 5$ atau $x = -1$.

>

Penutup

Materi matematika kelas 2 SMA memang membutuhkan ketekunan dan pemahaman konsep yang kuat. Contoh-contoh soal di atas hanyalah sebagian kecil dari berbagai kemungkinan soal yang akan dihadapi. Kunci utama untuk menguasai matematika adalah dengan latihan yang konsisten, memahami konsep dasar, dan mencoba berbagai jenis soal.

Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika menemui kesulitan. Manfaatkan sumber belajar yang ada, seperti buku teks, internet, dan video pembelajaran. Dengan semangat belajar yang tinggi dan strategi yang tepat, Anda pasti dapat menaklukkan tantangan matematika di kelas 2 SMA dan meraih kesuksesan. Selamat belajar!

>